ГБПОУ «Кабардино-Балкарский колледж «Строитель»
Поурочные планы
по геометрии
для студентов 1-го курса
гр 109 ПК
Преподаватель – Магомедова Н.В.
Нальчик, 2021 г
ВВЕДЕНИЕ.
Аксиомы стереометрии и их следствие.
5 часов
Урок 1
ПРЕДМЕТ СТЕРЕОМЕТРИИ. АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ
Цель: рассмотреть основные свойства плоскости.
Ход урока
- Вступительная беседа.
В планиметрии все фигуры, которые рассматривались при доказательстве каждой теоремы или при решении задач, располагались на плоскости (на листе бумаги или на доске и т. д.). Таким образом, мы имели дело только с одной плоскостью, и все точки, линии, углы, вообще геометрические фигуры лежали только на ней.
В курсе стереометрии нам предстоит рассматривать такие случаи, когда не все точки, линии и углы данной или данных фигур будут располагаться на одной плоскости. Будем считать, например, поверхность стола моделью плоскости Р; возьмем куб и поставим его одной гранью на стол. Легко видеть, что в данном кубе:
1) имеются точки, ребра, углы, лежащие на данной плоскости Р (на столе);
2) имеются точки, которые находятся вне плоскости Р;
3) имеются ребра, пересекающие плоскость Р;
4) имеются углы, находящиеся вне плоскости Р;
5) имеются шесть граней, являющиеся моделями шести различных плоскостей.
Вывод. Плоскости могут вступать во взаимодействие с другими элементами фигур и друг с другом.
Отсюда вытекает необходимость изучать различные случаи комбинаций плоскостей между собой, комбинации плоскостей с линиями и другими геометрическими объектами. Это изучение является одной из задач курса стереометрии. В первую очередь надо выяснить основные свойства плоскостей по отношению друг к другу, к точкам и прямым.
Введем обозначения:
точки – А, В, С и т. д.
прямые – a, b, с и т. д. или (АВ, СD и т. д.)
плоскости – α, β, γ и т. д.
Основные свойства плоскости.
Всем знакома ситуация: если ножки стула не одинаковые по длине, то стул стоит на трех ножках, то есть опирается на три «точки», а конец четвертой ножки (четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
Этот пример служит наглядным подтверждением того факта, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Так как три точки, не лежащие на одной прямой, однозначно определяют плоскость, то можно обозначать плоскость как (АВС), (BCD) и т. д.
Можно ли провести плоскость через три точки, лежащие на одной прямой? Сколько существует таких плоскостей?
Верно ли, что:
а) любые три точки лежат в одной плоскости;
б) любые четыре точки лежат в одной плоскости;
в) любые четыре точки не лежат в одной плоскости;
г) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна?
Ответы: а) да; б) нет; в) нет; г) нет.
Рассмотрим следующую ситуацию: для проверки «ровности» при укладке тротуарной плитки используют брусок, который прикладывают к поверхности дорожки. Если на дорожке есть ложбинки или бугорок, то в каких-то местах между бруском и плоскостью дорожки образуется просвет. Если поверхность дорожки ровная, то между бруском и дорожкой никакого просвета нет, то есть брусок всеми своими точками прилегает к ее поверхности.
Можно встретить и обратную ситуацию, когда проверяют «ровность» линейки при помощи проверенной модели плоскости. Эти примеры служат наглядным подтверждением того факта, что если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она:
а) пересекает две стороны треугольника;
б) проходит через одну из вершин треугольника?
Ответ обоснуйте.
Обратимся к модели куба. Учащимся предлагается на модели куба указать:
1) точку, принадлежащую одновременно двум данным пересекающимся граням;
2) точку, принадлежащую трем данным пересекающимся граням;
3) грани, которым принадлежит точка, взятая на каком-нибудь ребре куба;
4) грани, которым принадлежит данная вершина куба.
Вывод. Точка, лежащая на линии пересечения двух плоскостей, лежит на каждой из этих плоскостей, и обратно: точка, лежащая одновременно на двух каких-нибудь плоскостях, лежит на линии пересечения этих плоскостей.
На вопрос, что является линией пересечения двух плоскостей (в теоретико-множественном смысле: если прямые имеют хотя бы одну общую точку), отвечает третья аксиома: если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через данную точку.
Наглядной иллюстрацией третьей аксиомы является пересечение двух смежных сторон классной комнаты, пересечение двух листов книги и т. д.
Могут ли две пересекающиеся плоскости иметь общую точку, не принадлежащую линии пересечения этих плоскостей?
Прямые а и b пересекаются в точке С. Через прямую а проходит плоскость α, а через прямую b – плоскость β, отличная от α. Как проходит линия пересечения этих плоскостей? Следует обязательно отметить, что в пространстве существует бесконечно много плоскостей, и в каждой плоскости справедливы все аксиомы и теоремы планиметрии.
III. Решение задач.
№ 9 (перечертите чертеж и ответы запишите с помощью символики).
Постройте изображение куба АВСDА1В1С1D1:
а) назовите плоскости, в которых лежат точка М, точка N;
б) найдите точку F – точку пересечения прямых MN и ВС. Каким свойством обладает точка F? (Принадлежит и прямой MN, и плоскости (АВС));
в) найдите точку пересечения прямой KN и плоскости (АВС).
Домашнее задание: теория (п. 1 – 2), № 1 (перечертите чертеж и ответы запишите с помощью символики), №№ 3, 10, 12, 13.